مبانی توپولوژی
ب. ت. سیمز
مبانی توپولوژی عمومی چیست؟
توپولوژی یکی از شاخه‌های مهم ریاضیات است که خود دارای چندین زیرشاخه مانند: توپولوژی عمومی، توپولوژی جبری، توپولوژی دیفرانسیل و جبر توپولوژیک است که زیرشاخه اول یعنی توپولوژی عمومی (توپولوژی نقطه – مجموعه) پیش‌نیاز مطالعه سایر زیرشاخه‌ها است.
اهمیت یادگیری مبانی توپولوژی عمومی چیست؟
تاثیر توپولوژی، به دلیل بیان مفاهیم و مطالب پایه در ریاضیات، در سایر شاخه‌های ریاضیات نیز ملموس است. بنابراین، یادگیری مفاهیم اصلی توپولوژی به تمام مخاطبینی که خواهان فراگیری و درک مطالب اصلی در ریاضیات هستند، توصیه می‌شود.
در این فرادرس چه چیزی و چگونه یاد می‌گیریم؟
هدف از ارائه این فرادرس، بیان ساده مفاهیم اصلی در توپولوژی عمومی است به گونه‌ای که برای تمام افراد علاقه‌مند به فراگیری قابل فهم باشد. در این دروس در کنار آموزش مطالب اصلی در توپولوژی و ساده‌سازی این مفاهیم، سعی داریم با ارائه مثال‌هایی، طریقه استفاده از این مطالب را نشان دهیم و در کنار آن روش درست فکر کردن و استفاده از مفاهیم موجود در ریاضیات و به خصوص توپولوژی را تمرین کنیم.
همان طور که برای بازی کردن ابتدا باید قواعد آن را آموخت، ما نیز در هر درس، ابتدا با توضیح قواعد و مفاهیم موجود در توپولوژی شروع می‌کنیم و سپس مثال‌ها و گزاره‌هایی را بیان می‌کنیم که از این قواعد در آن استفاده می‌شود.
فهرست سرفصل‌ها و رئوس مطالب مطرح شده در اين مجموعه آموزشی، در ادامه آمده است:
- درس یکم: فضاهای توپولوژیک
- تعریف توپولوژی
- مثال هایی از توپولوژی
- توپولوژی گسسته
- توپولوژی ناگسسته
- قضیه و مثال از توپولوژی گسسته
- مجموعه های باز
- مجموعه های بسته
- مجموعه های باز – بسته
- توپولوژی بسته – متناهی
- یک به یک، پوشا، تصویر وارون
- درس دوم: توپولوژی اقلیدسی
- توپولوژی اقلیدسی بر روی اعداد حقیقی
- مجموعه های باز و بسته در توپولوژی اقلیدسی
- مفهوم پایه یک توپولوژی
- مثال هایی از پایه توپولوژی
- توپولوژی حاصلضرب
- پایه یک توپولوژی مشخص
- قضایای پایه توپولوژی
- درس سوم: نقاط حدی
- مفاهیم مقدماتی نقطه حدی
- قضایا و مثال های نقطه حدی
- مجموعه چگال
- همسایگی ها
- Inf و Sup
- همبندی
- درس چهارم: هم ریختی ها
- زیر فضاها
- توپولوژی القا شده
- مفاهیم هم ریختی
- قضیه و مثال های هم ریختی
- فضاهای نا هم ریخت
- مجموعه های همبند در R
- درس پنجم: نگاشت های پیوسته
- مفاهیم مقدماتی
- قضایا و مثال های نگاشت های پیوسته
- رابطه بین نگاشت های پیوسته و هم ریختی ها
- تحدید یک نگاشت پیوسته
- رابطه همبندی و نگاشت های پیوسته
- همبند مسیری
- قضیه مقدار میانی
- قضیه نقطه ثابت
- فضای تماما نا همبند
- فضای صفر بعدی
- درس ششم: فضاهای متری
- تعریف متر و فضای متری
- متر اقلیدسی
- متر گسسته
- مثال هایی از فضاهای تابعی
- فضاهای برداری نرمدار
- گوی باز
- مترهای معادل
- فضای هاسدورف (Hausdorff)
- فضای متر پذیر
- فضای نرمال
- همگرایی دنباله ها
- نگاشت های پیوسته و همگرایی
- فاصله بین دو مجموعه
- دنباله کوشی
- کامل بودن
- زیر دنباله، دنباله یکنوا
- نوک
- فضای کاملا متر پذیر
- فضای جدا پذیر، پالیش، سوسلین (Suslin)
- یک ریختی
- نگاشت های انقباض
- فضاهای بئر (Bair)
