نام محصول : کتاب آنالیز هارمونیک مجرد روی گروه ها و نیم گروه ها
نویسنده : علی رجالی
آنالیز هارمونیک به عنوان گرایشی از آنالیز ریاضی ریشه در سری‌های فوریه منسوب به جوزف فوریه ریاضیدان فرانسوی دارد که با نمایش یک تابع به کمک تابع‌های مثلثاتی به ساده‌سازی مساله انتقال گرما کمک کرد.
این زمینه علمی در چند قرن اخیر کاربردهای وسیعی در علوم پایه، علوم مهندسی و علوم پزشکی از جمله: در پردازش سیگنال و تصویر، مکانیک کوانتومی، هواشناسی و علوم اعصاب ایفا کرده است.
هدف از آنالیز هارمونیک مطالعه مفاهیم مختلف آنالیز روی گروه‌های توپولوژیک به ویژه گروه‌های فشرده موضعی است که در حالت خاص، به مطالعه توابع و اندازه‌های روی گروه‌های فشرده موضعی و فضاها و جبرهای حاصل از آن‌ها می‌پردازد. آنالیز هارمونیک کلاسیک یا آنالیز فوریه با تمرکز روی گروه جمعی اقلیدسی اعداد حقیقی و تعمیم آن‌ها به گروه‌های فشرده موضعی آبلی این مفاهیم را بررسی می‌کند و آنالیز هارمونیک مجرد به طور کلی روی یک گروه فشرده موضعی دلخواه.
در روند ارائه این درس ابتدا به مفاهیم آنالیز هارمونیک در حالت کلی روی یک گروه فشرده موضعی دلخواه می‌پردازیم و در ادامه با مطالعه عمیق‌تر روی گروه‌های فشرده موضعی آبلی مفاهیم خاص آن‌ها را بررسی می‌کنیم. در طول مسیر مثال‌هایی خاص از گروه ارائه می‌کنیم که علاوه بر ریشه‌یابی مفاهیم ارائه شده به فهم بهتر آن‌ها کمک می‌کند.
سرفصل‌ها
- درس یکم: نظریه گروه‌های توپولوژیک
- مفاهیم مقدماتی توپولوژی
- تعریف گروه توپولوژیک، ویژگی‌ها و مثال
- زیرگروه توپولوژیک و گروه خارج قسمتی
- تعریف تور و زیرتور
- ویژگی‌های باز بودن، بسته بودن و فشردگی
- اصول جداسازی برای فضاهای توپولوژیک و ارتباط با گروه توپولوژیک
- درس دوم: گروه‌های موضعا فشرده
- تعریف گروه موضعا فشرده
- مثال‌هایی از گروه‌های موضعا فشرده
- ویژگی‌های گروه‌های موضعا فشرده
- درس سوم: فضاهای توابع
- تعریف فضاهای توابع پیوسته به ازای یک فضای توپولوژیک
- ارتباط بین فضاهای توابع پیوسته به ازای یک گروه موضعا فشرده
- فضای توابع پیوسته یکنواخت چپ و راست به ازای یک گروه موضعا فشرده
- توپولوژی قوی، ضعیف و ضعیف ستاره
- پیوستگی عملگرها با توپولوژی، ضعیف و ضعیف ستاره
- فضای توابع تقریبا متناوب و تقریبا متناوب ضعیف به ازای یک گروه موضعا فشرده
- درس چهارم: اندازه
- تعریف سیگما جبر و اندازه
- تعریف اندازه رادون
- مفهوم تابعک خطی و توسیع آن
- قضیه نمایش ریس
- درس پنجم: اندازه هار و انتگرال هار
- تعریف اندازه هار و انتگرال هار
- ویژگی‌های اندازه هار
- توپولوژی حاصلضربی و قضیه تیخونوف
- ساخت اندازه هار روی گروه موضعا فشرده
- ویژگی‌های اندازه هار روی مجموعه‌های باز، بسته و فشرده
- اندازه هار روی گروه‌های گسسته
- اندازه هار روی گروه‌های غیر گسسته
- اندازه‌های حاصلضربی
- قضیه فوبینی
- یکتایی اندازه هار
- تابع مدولی و ویژگی‌های آن
- فضای توابع انتگرال‌پذیر
- انتگرال هار برای انتقال‌های چپ و راست توابع
- مثال‌هایی از اندازه هار روی گروه‌های خاص
- تعریف ژاکوبین و ساخت اندازه هار روی گروه‌های ماتریسی
- درس ششم: ضرب پیچشی توابع و اندازه‌ها
- تعریف جبر باناخ و مفهوم برگشت
- تعریف اندازه مختلط و اندازه رادون
- فضای باناخ اندازه‌های مختلط بورل منظم
- ضرب پیچشی توابع و اندازه‌ها
- ضرب پیچشی اندازه‌ها
- جبر اندازه
- ضرب پیجشی توابع اندازه‌پذیر
- جبر گروهی
- زیرفضاهای جبر اندازه
