تابع گاما

مرکز نشر دانشگاهی

نوشته : امیل آرتین

پیشگفتار نویسنده :

علی‌رغم اهمیت تابع گاما در شاخه‌های گوناگون ریاضیات، کتاب‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال با روش بسیار سطحی و مبهمی به این تابع پرداخته‌اند.

این تک نگاشت کمک خواهد کرد تا نشان داده شود که تابع گاما را می‌توان به عنوان یکی از توابع مقدماتی در نظر گرفت و همه ویژگی‌های اساسی آن را با بهره‌وری از روش‌های مقدماتی حساب دیفرانسیل و انتگرال ثابت کرد.
تا آنجا که به پیشنیازها مربوط می‌شود، تنها لازم است که خواننده به خوبی با حساب دیفرانسیل و انتگرال، از جمله انتگرال‌های ناسره، آشنا باشد. حتی برخی مفاهیم مهمتر مورد نیاز، در فصل اول دوباره معرفی شده و مورد بحث قرار گرفته‌اند. با این زمینه، خواننده نباید مشکلی در درک مطالب داشته باشد، مگر بخش های پایانی دو فصل آخر که در آنها داشتن معلوماتی درباره سری فوریه لازم است. به هر حال، از این بخش‌های تک نگاشت حاضر، می‌توان بی هیچ اشکال در اولین مطالعه چشم پوشید.

در این کتاب، انتگرال به عنوان تعریف اصلی تابع گاما برگزیده شده است، زیرا این رهیافت ما را از دردسر اثبات همگرایی حاصل ضرب گاوس در امان می‌دارد. البته می‌توانستیم هر عبارت تحلیلی دیگری را که واجد ویژگی‌های مشخص تابع گاما باشد، به روش کاملاً مشابهی به کار ببندیم. پس از تعریف، تمامی نظریه با بهره‌وری از مفهوم تحدب لگاریتمی نتیجه خواهد شد. این روش از آن بور و مولراپ است.

فهرست مطالب :

بخش ۱ : توابع محدب
بخش ۲ : انتگرال‌های اویلر و فرمول حاصل‌ضرب گاوس
بخش ۳ : مقادیر بزرگ x و فرمول ضرب
بخش ۴ : ارتباط با sinx
بخش ۵ : کاربرد در انتگرال‌های معین
بخش ۶ : تعیین گاما به وسیله معادلات تابعی

تابع گاما از توابع متعالی در ریاضیات است و از قدیمیترین توابع شناخته شده است. ارتباط این تابع با توابع بسیاری در ریاضی، و خواص ویژه ای که این تابع دارد الزاما مورد نیاز هر دانشجوی علوم پایه و علوم مهندسی است. امیل آرتین از داشنمندان ریاضی که در جبر صاحب نام است، با کلام شیوای خود این تابع را بطور تحلیل به تصویر کشیده و بسیاری از خواص مهم آنرا در این کتاب مشروحا بیان نموده است.